圆周运动公式推导过程

圆周运动公式推导过程

圆周运动公式推导过程匀速圆周运动证明：先把匀速圆周运动的运动轨迹用参数方程表示出来：（圆周运动圆心在坐标系原点）begin{} left{ begin{}x(t)&=rcostheta \ y(t)&=rsintheta \ end{} right. end{}其中角度 theta 为线性变化加速度公式图解， omega=frac{theta}{t}为常数，将此关系式代入参数方程求其质点运动速度，对参数方程求对时间的导数：begin{} left{ begin{} v_x(t)&=-ωrsinωt \ v_y(t)&=ωrcosωt \ end{}right. end{}求其加速度加速度公式图解，同理：begin{} left{ begin{} a_x(t)&=-ω^2rcosωt \ a_y(t)&=-ω^2rsinωt \ end{} right. end{}那么匀速圆周运动的加速度就出来了：a_n=sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2}=ω^2r=frac{v^2}{r}=mω^2r=mfrac{v^2}{r}可以证明变速圆周运动也满足上式变速圆周运动证明：继续使用参数方程的方法证明，仅仅增加复合函数求导（链式法则）和乘法求导的内容先把变速圆周运动的运动轨迹用参数方程的形式表示出来：begin{} left{begin{}x(t)&=rcos\ y(t)&=rsin\ end{} right. end{}（注意：这是复合函数的形式）写成质点位置矢量的坐标形式：vec{r(t)}={x(t),y(t)} ，模长为 r不同于匀速圆周运动，现在需要对非线性变化的角度theta(t) 求时间的导数，因此角速度 omega(t) 现在为变量圆周运动公式推导过程，需要增加一个瞬时角速度定义ω(t)=lim_{δt→0}{frac{δθ}{δt}=frac{{d}θ}{{d}t}}=theta'(t)加速度公式图解，即对角度求时间的导数等于瞬时角速度对参数方程求时间的导数：begin{} left{ begin{} v_x(t)&=-rω(t)sin \ v_y(t)&=rω(t)cos \end{} right. end{}写成速度矢量的坐标形式：vec{v(t)}=frac{{d}vec{r}}{{d}t}={v_{ x}(t),v_{y}(t)} ，模长为 v(t)=romega(t)（由曲线运动的性质可知，速度总是沿着曲线的切线方向）继续对时间继续导数，出现了要对角速度求导数，增加了一个角加速度定义alpha(t)=lim_{δt→0}{frac{δomega}{δt}}=frac{m athrm{d}omega}{{d}t}=omega'(t) ，即角速度对时间的导数等于角加速度求导可得变速运动的合加速度分量表达式：begin{} left{ begin{} a_x(t)&=-(rα(t)sin+rω^2(t)cos) \ a_y(t)&=rα(t)cos-rω^2(t)sin \ end{} right. end{}写成矢量的坐标形式：vec{a(t)}=frac{{d}vec{v}}{{d}t}={a_{ x}(t),a_{y}(t)}最后一步圆周运动公式推导过程，要将合加速度向垂直于速度方向和半径方向进行分解才能分别得到切向加速度和法向加速度，可以利用矢量（向量）标量积（数量积）的几何意义，将加速度向两个互相垂直的单位矢量进行投影，可得：切向加速度：（数值）begin{} begin{} a_{τ} &=vec{a}·frac{vec{v}}{|vec{v}|}\&=a_{x}frac{v_{x}}{v}+a_{y}frac{v_{y}}{v}\ &=-a_{x}sin(theta)+a_{y}cos(theta)\ &=alpha(t) r\ end{} end{}法向加速度：（数值）begin{} begin{} a_{n} &=vec{a}·frac{vec{r}}{|vec{r}|}\&=a_{x}frac{x_{x}}{r}+a_{y}frac{x_{y}}{r}\&=a_{x}cos(theta)+a_{y}sin(theta)\ &=-omega^2(t) r\ end{} end{}（出现负号代表法向加速度方向与位置矢量方向相反，指向圆心）至此可以看出和匀变速圆周运动下的公式相同再补一个用矢量微积分来证明的方法：利用矢量叉乘求导公式：frac{{d}}{{d}t}(vec{a}×vec{b})=frac{{d}vec{a}}{{d}t}×vec{b}+vec{a}×frac{{d}vec{b}}{{d}t}vec{a}×(vec{b}× vec{c})=vec{b}(vec{a} ·vec{c})-vec{c}(vec{a} ·vec{b}) ，可以简单的记成back-cab原则在圆周运动中： vec{v}= vec{ω}×vec{r} ，vec{ω}·vec{r}=vec{r}·vec{ω} =0下面开始证明：begin{} begin{}vec{a}&=frac{{d}vec{v}}{{d}t}\&=frac{{d}}{{d}t}(vec{ω}×vec{r}) \&=frac{{d}vec{ω}}{{d}t}×vec{r}+ vec{ω}×frac{{d}vec{r}}{{d}t}\&=vec{α}×vec{r}+vec{ω}×vec{v}\&=vec{a_{τ}}+vec{a_{n}} end{}end{}可得：切向加速度：vec{a_{τ}}= vec{α}×vec{r}begin{} begin{} 法向加速度：vec{a_{n}}&= vec{ω}×vec{v} \&=vec{ω}×(vec{ω}×vec{r}) \&=vec{ω}(vec{ω} ·vec{r})-vec{r}(vec{ω} ·vec{ω}) \&=-ω^2vec{r} end{} end{}。